Arguments et module de l'opposé et du conjugué

P roposition

Soit  `z` un nombre complexe non nul. On a :

• \(\left\vert -z \right\vert = \left\vert z \right\vert\)
  
• \(\left\vert \overline{z} \right\vert = \left\vert z \right\vert\)
  
• \(\left\vert -\overline{z} \right\vert = \left\vert z \right\vert\)
  

 Et :

• \(\arg(-z) \equiv \arg(z)+\pi \ [2\pi]\)
  
• \(\arg(\overline{z}) \equiv -\arg(z) \ [2\pi]\)
  
• \(\arg(-\overline{z}) \equiv -\arg(z)+\pi \ [2\pi]\)
  

Démonstration

On considère les points suivants du plan complexe :

• \(\text M(z)\) ;
  
• \(\text M'(-z)\) ; symétrique de  \(\text M\) par rapport à l'origine  \(\text O\) ;
  
• \(\text N(\overline{z})\) ; symétrique de  \(\text M\) par rapport à l'axe des abscisses ;
  
• \(\text N'(-\overline{z})\) ; symétrique de  \(\text N\) par rapport à l'axe des ordonnées.
  

Il est clair que \(\text O\text M=\text O\text M'=\text O\text N=\text O\text N\) , autrement dit \(\left\vert z \right\vert = \left\vert -z \right\vert = \left\vert \overline{z} \right\vert = \left\vert -\overline{z} \right\vert\) .
Par symétrie par rapport à l'origine  \(\text O\) ,  \(\left(\vec{u};\overrightarrow{\text O\text M'}\right) \equiv \left(\vec{u};\overrightarrow{\text O\text M}\right)+\pi \ [2\pi]\) ,  autrement dit \(\arg(-z) \equiv \arg(z)+\pi \ [2\pi]\) .

Par symétrie par rapport à l'axe des abscisses, \(\left(\vec{u};\overrightarrow{\text O\text N}\right) \equiv -\left(\vec{u};\overrightarrow{\text O\text M}\right) \ [2\pi]\) , autrement dit `\arg(\overline{z}) \equiv -\arg(z) \ [2\pi]` .

Par symétrie par rapport à l'axe des ordonnées : \(\left(\vec{u};\overrightarrow{\text O\text N'}\right) \equiv \pi-\left(\vec{u};\overrightarrow{\text O\text M}\right) \ [2\pi]\) , autrement dit  \(\arg(-\overline{z}) \equiv -\arg(z)+\pi \ [2\pi]\) .